Exponentieller Vorgang

Dieser Text beschreibt Exponentieller Vorgang.

exp. Wachstum

Einen Ablauf bezeichnet man als exponentiell, wenn die wesentliche beteiligte Größe sich mit Hilfe der Exponentialfunktion als exponentielles Wachstum

N = N₀e^λt

oder als exponentielle Abnahme

N = N₀e ^{- λt}

beschreiben lässt. Dies ist der Fall, wenn die Zunahme beziehungsweise Abnahme prozentual konstant, das heißt proportional zur Größe des Bestandes ist.

Die Geschwindigkeit des Wachstums beziehungsweise der Abnahme wird durch die Wachstumsrate beziehungsweise Zerfallsrate λ bestimmt, die mit der Verdoppelungsrate beziehungsweise Halbwertszeit T folgendermaßen zusammenhängt:

λT = ln(2)

Dabei ist ln der natürliche Logarithmus.

Bei vielen Prozessen setzt sich das exponentielle Wachstum nicht unendlich fort, sondern verlangsamt sich, bis eine Sättigung eingetreten ist.

Exponentielles Verhalten ist in der Natur ein häufig beobachteter Vorgang. Der mathematische Hintergrund dafür ist, dass die obige Formel die einfachste gewöhnliche Differentialgeichung

y'(t) = λy(t)

erfüllt. Diese Gleichung besagt, dass die Änderung eines Wertes zu jeder Zeit proportional zu diesem Wert ist.==Beispiele==

• Beispiele zur exponentiellen Abnahme wie etwa der radioaktive Zerfall siehe unter Halbwertszeit.
• Bakterienkulturen wachsen in ihrem Anfangsstadium (unter geeigneten Bedingungen) exponentiell.
• In der Gesellschaft wachsen Kapital oder Schulden bei einem festen Zins mit Zinseszins exponentiell.
• Die Gesamtmenge an (Fach-)Literatur wächst exponentiell - Die Verdoppelungsrate beträgt etwa 20 Jahre, das entspricht einer Zunahme von etwa 3,5 Prozent pro Jahr.
• Auch die Menge die Definition in Library wächst exponentiell.
• Moore's Law
• Bierschaum zerfällt exponentiell. Es ist ein beliebtes Experiment in Schulen um die Zerfallsrate an einem Beispiel aus dem Alltag darzustellen.